Question

設函數f(x)＝a^x＋b^x－c^x，其中c>a>0，c>b>0.

(1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構成一個三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對應的f(x)的零點的取值集合為________；

(2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結論正確的是________．(寫出所有正確結論的序號)

①∀x∈(－∞，1)，f(x)>0；

②∃x∈R，使a^x，b^x，c^x不能構成一個三角形的三條邊長；

③若△ABC為鈍角三角形，則∃x∈(1,2)，使f(x)＝0.

Answer 1

 (1){x|0<x≤1}　(2)①②③

[解析]　(1)∵c>a>0，c>b>0，a＝b，且a、b、c不能構成三角形的三邊，∴0<a＋a≤c，∴≥2，

令f(x)＝0得，a^x＋b^x＝c^x，∵a＝b，∴2a^x＝c^x，

∴()^x＝2，∴x＝log2，∴＝log₂≥1，∴0<x≤1.

(2)①∵a、b、c是三角形的三邊長，∴a＋b>c，∵c>a>0，c>b>0，∴0<<1,0<<1，∴當x∈(－∞，1)時，f(x)＝a^x＋b^x－c^x＝c^x[()^x＋()^x－1]>c^x(＋－1)＝>0，∴①正確；

②令a＝2，b＝3，c＝4，則a、b、c構成三角形的三邊長，取x＝2，則a²、b²、c²不能構成三角形的三邊長，故②正確；

③∵c>a，c>b，△ABC為鈍角三角形，∴a²＋b²－c²<0，

又f(1)＝a＋b－c>0，f(2)＝a²＋b²－c²<0，

∴函數f(x)在(1,2)上存在零點，③正確．