Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面， 垂直于和， ， ， 是棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成的二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)， 與平面所成的角為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）．

【解析】 試題分析：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，由，即可證明平面；

（2）易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成的二面角為，求得，即可求得平面與平面所成的二面角的余弦值．

（3）設(shè)，則，平面的一個(gè)法向量為，取得的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ， ， ， ，

∴， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則∴令，得．

∵，

∴，∴平面．

（Ⅱ）易知平面的一個(gè)法向量為 ，設(shè)平面與平面所成的二面角為，

易知，則，∴，

所以平面與平面所成的二面角的余弦值為．

（Ⅲ）設(shè)，則，易知平面的一個(gè)法向量為，

∴，

當(dāng)，即時(shí)， 取得最大值，且．