Question

頂點在原點，焦點在y軸的拋物線經過點A（1，

1

4

）．
（Ⅰ）求拋物線的焦點F的坐標；
（Ⅱ）求拋物線在點A處的切線方程．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出拋物線方程，利用經過點A（1，

1

4

），求出拋物線中的參數，即可得到拋物線方程，從而可得拋物線的焦點F的坐標；
（Ⅱ）求出拋物線在點A處的切線斜率，即可求拋物線在點A處的切線方程．

解答： 解：（Ⅰ）因為拋物線C的頂點在原點，焦點在y軸上，設標準方程為x²=2py，
因為點A（1，

1

4

）在拋物線上，所以1=

1

2

p，
所以p=2，拋物線的焦點F的坐標（0，1）；
（Ⅱ）拋物線方程為：x²=4y，即y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x，
x=1時，y′=

1

2

，
∴拋物線在點A處的切線方程為y-

1

4

=

1

2

（x-1），即2x-4y-1=0．x

點評：本題是基礎題，考查拋物線的標準方程的求法，考查導數的幾何意義，注意標準方程的形式．