【題目】已知圓
：
，過
且與圓相切的動圓圓心為
.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）設過點的直線
交曲線于
，
兩點，過點
的直線
交曲線于
，
兩點，且
，垂足為
（，，，為不同的四個點）.
①設
，證明：
；
②求四邊形
的面積的最小值.
【答案】（1）
.（2）①見解析.②
.
【解析】試題分析：
（1）設動圓半徑為
，由于
在圓內，圓
與圓
內切，由題意可得
，則點的軌跡
是橢圓，其方程為.
（2）①由題意可知
，而
，
，
，
為不同的四個點，故
.
②若
或
的斜率不存在，四邊形
的面積為
.否則，設的方程為
，聯立直線方程與橢圓方程可得
，同理得
，則
，當且僅當
時等號成立.則四邊形的面積取得最小值為.
試題解析：
（1）設動圓半徑為，由于在圓內，圓與圓內切，
則
，
， 
，
由橢圓定義可知，點的軌跡是橢圓，
，
，
，
的方程為.
（2）①證明：由已知條件可知，垂足
在以
為直徑的圓周上，
則有，
又因，，，為不同的四個點，.
②解：若或的斜率不存在，四邊形的面積為.
若兩條直線的斜率存在，設的斜率為
，
則的方程為，
解方程組
，得
，
則，
同理得，
∴ ，
當且僅當
，即時等號成立.
綜上所述，當時，四邊形的面積取得最小值為.
名校聯盟快樂課堂系列答案
黃岡創(chuàng)優(yōu)卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
是參數）．以坐標原點為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
（1）求的直角坐標方程和的普通方程；
（2）與相交于
兩點，設點
為上異于的一點，當
面積最大時，求點到的距離．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在以
、
、
、
、
、
為頂點的五面體中，平面
平面
，
，四邊形為平行四邊形，且
.
（1）求證：
；
（2）若
，
，直線
與平面所成角為
，求平面
與平面
所成銳二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【選修4-4：坐標系與參數方程】
在直角坐標系
中，以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的參數方程為
（
為參數），曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
的坐標為
，直線與曲線交于
，
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的左右焦點分別為
，
且關于直線
的對稱點
在直線
上.
（1）求橢圓的離心率；
（2）若過焦點垂直
軸的直線被橢圓截得的弦長為
，斜率為
的直線
交橢圓于
，
兩點，問是否存在定點
，使得
，
的斜率之和為定值？若存在，求出所有滿足條件的點坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖（1）五邊形
中， 
,將
沿
折到
的位置，得到四棱錐
，如圖（2），點
為線段
的中點，且
平面
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若直線
與所成角的正切值為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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