Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，，，，為梯形外一點，且平面.

（1）求證：平面；

（2）當二面角的平面角的余弦值為時，求這個四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）梯形ABCD中，由線段關系及角度關系可證明.根據平面，可知，由線面垂直判定定理即可證明平面；

（2）在中由余弦定理求得，建立空間直角坐標系，設，寫出各個點的坐標，并求得平面BDP的法向量和平面BCP的法向量，根據空間向量的數量積運算及二面角的平面角的余弦值為，即可求得的值，進而求得四棱錐的體積.

（1）證明：在梯形ABCD中，，，

，

.

，

，

，

.

平面ABCD，平面ABCD，

.

又，

平面ACP.

（2）在中，，

.

以點C為坐標原點，分別以CA，CB，CP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.

設，則，，，，，

則，.

設平面BDP的法向量，

則，即.取，得，

平面BCP的一個法向量.

二面角的平面角的余弦值為，，

解得，即，.