Question

已知拋物線x²=ay（a＞0），點O為坐標原點，斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點．
（1）若直線過點D（0，2）且a=4，求△AOB的面積；
（2）若直線過拋物線的焦點且

OA

•

OB

=-3，求拋物線的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）斜率為1的直線方程為y=x+2，代入拋物線方程，即可求△AOB的面積；
（2）直線方程為y=x+

a

4

代入拋物線方程，利用韋達定理，結合

OA

•

OB

=-3，即可求拋物線的方程．

解答： 解：（1）斜率為1的直線方程為y=x+2，
代入拋物線方程可化為x²-4x-8=0，∴x=2±2

3

，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴S_△AOB=

1

2

|DO|•|x₁-x₂|=4

3

；
（2）直線方程為y=x+

a

4

代入拋物線方程可化為x²-ax-

a2

4

=0，
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-

a2

4

．
∴y₁y₂=（x₁+

a

4

）（x₂+

a

4

）=x₁x₂+

a

4

（x₁+x₂）+

a2

16

=

a2

16

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-

a2

4

+

a2

16

=-3
∵a＞0，
∴a=4，
∴拋物線的方程為x²=4y．

點評：本題考查了直線與拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)、數(shù)量積運算、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．