Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為s_n，求證：

1

2

≤sn＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）構(gòu)造等差數(shù)列求解．
（2）利用裂項(xiàng)法，放縮求解，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性．

解答： 解；（1）∵a_n+1=f（a_n）=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=1+

1

an

，
即

1

an+1

-

1

an

=1，又

1

a1

=1
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）∵（1）得

1

an

=1+（n-1）×1=n，∴a_n=

1

n

∵b_n=a_na_n+1，∴b_n=

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1
又知{S_n}為遞增數(shù)列，∴S_n≥S₁=b₁=

1

1×2

=

1

2

∴

1

2

≤Sn＜1

點(diǎn)評：本題考察了等差數(shù)列的性質(zhì)，裂項(xiàng)求和，放縮的技巧，要求能力較強(qiáng)．