Question

某車間有50名工人，要完成150件產(chǎn)品的生產(chǎn)任務(wù)，每件產(chǎn)品由3個(gè)A型零件和1個(gè)B型零件配套組成，每個(gè)工人每小時(shí)能加工5個(gè)A型零件或者3個(gè)B型零件，現(xiàn)在把這些工人分成兩組同時(shí)工作（分組后人數(shù)不再進(jìn)行調(diào)整），每組加工同一種型號(hào)的零件．設(shè)加工A型零件的工人數(shù)為x名（x∈N^*）．
（1）設(shè)完成A、B型零件加工所需的時(shí)間分別為f（x）、g（x）小時(shí)，寫出f（x）與g（x）的解析式；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，完成全部生產(chǎn)任務(wù)的時(shí)間最短？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需要A，B型零件分別為450、150個(gè)，即可寫出f（x）與g（x）的解析式；
（2）完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間h（x），是f（x）與 g（x）的較大者；故令f（x）≥g（x），得1≤x≤32

1

7

，求得當(dāng)1≤x≤32時(shí)，f（x）＞g（x）；當(dāng)33≤x≤49時(shí)，f（x）＜g（x）．所以h(x)=

90 x ，(x∈N*，  1≤x≤32) 50 50-x ，  (x∈N*，33≤x≤49)

，求得函數(shù)h（x）的最小值即可．

解答： 解：（1）生產(chǎn)150件產(chǎn)品，需要A，B型零件分別為450、150個(gè)
∴f(x)=

450

5x

=

90

x

(x∈N，1≤x≤49)，g(x)=

150

3(50-x)

=

50

50-x

(x∈N，1≤x≤49)…5分
（2）設(shè)完成全部生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間為h（x），則h（x）為f（x）與g（x）的較大者
令f（x）≥g（x），即

90

x

≥

50

50-x

解得1≤x≤32

1

7

所以h(x)=

90 x ，(x∈N*，  1≤x≤32) 50 50-x ，  (x∈N*，33≤x≤49)

…7分
①當(dāng)1≤x≤32時(shí)，h(x)=

90

x

單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=32時(shí)，h(x)min=

45

16

小時(shí)…9分
②當(dāng)33≤x≤49時(shí)，h(x)=

50

50-x

單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=33時(shí)，h(x)min=

50

17

小時(shí)…11分
由于h（32）＜h（33），∴h（x）在[1，49]上的最小值為h（32）
故為了最短時(shí)間內(nèi)完成全部生產(chǎn)任務(wù)，x應(yīng)取32…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的最值、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，也考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，以及運(yùn)算求解和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．