Question

已知函數，其中.

（1）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析式；

（2）討論函數的單調性；

（3）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）函數的解析式為；（2）當時，在，內是增函數；當時在，內是增函數，在，內是減函數；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求出導函數，進而根據曲線在點處的切線方程為得到即，從中可求解出的值，進而可確定函數的解析式；（2）針對導函數，對分、兩類，由導數大于零求出函數的單調增區(qū)間，由導數小于零可求出函數的單調遞減區(qū)間；（3）要使對于任意的，不等式在上恒成立，只須，由（2）的討論，確定函數，進而得到不等式即，該不等式組對任意的成立，從中可求得.

（1），由導數的幾何意義得，于是

由切點在直線上可得，解得

所以函數的解析式為 3分

（2）因為

當時，顯然，這時在，內是增函數

當時，令，解得

當變化時，，的變化情況如下表：

	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 

所以在，內是增函數，在，內是減函數.......7分

（3）由（2）知，在上的最大值為與中的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當 即對任意的成立，從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．.................13分.

考點：1.導數的幾何意義；2.函數的單調性與導數；3.函數的最值與導數.