Question

已知函數(shù)f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，當(dāng)x≠0時(shí)，有f′（x）=

f(x)

x

＞0，則函數(shù)F（x）=xf（x）+

1

x

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將函數(shù)F（x）=0，轉(zhuǎn)化為xf（x）=-

1

x

，然后利用函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系研究函數(shù)g（x）=xf（x）的單調(diào)性和取值范圍，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論

解答： 解：由數(shù)F（x）=xf（x）+

1

x

=0，得xf（x）=-

1

x

，
設(shè) g（x）=xf（x），
則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵x≠0時(shí)，有f′（x）+

f(x)

x

＞0，
∴x≠0時(shí)，

f(x)+xf′(x)

x

＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)g（x）＞g（0）=0，
當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
此時(shí)g（x）＞g（0）=0，
作出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=-

1

x

的圖象，（直線只代表單調(diào)性和取值范圍），
由圖象可知函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．