Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos²

nπ

2

）•a_n+sin²

nπ

2

（n∈N^*），則該數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先利用題中條件找到數(shù)列的特點(diǎn)，即其奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成了首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，而其偶數(shù)項(xiàng)則構(gòu)成了首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再對其和用分組求和的方法找到即可．

解答： 解：由題中條件知，a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+1=2，a₄=2a₂+0=4，a₅=a₃+1=3，a₆=2a₄=8…
即其奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成了首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，而其偶數(shù)項(xiàng)則構(gòu)成了首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴當(dāng)n為奇數(shù)時，s_n=

n+1

2

×1+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×1+

2(1-2 n-1 2 )

1-2

=

(n+1)(n+3)

8

+2

n+1

2

-2，
當(dāng)n為偶數(shù)時，s_n=

n

2

×1+

n 2 ( n 2 -1)

2

×1+

2(1-2 n 2 )

1-2

=

n(n+2)

8

+2

n+2

2

-2．
∴s_n=

(n+1)(n+3) 8 +2 n+1 2 -2 n為奇數(shù) n(n+2) 8 +2 n+2 2 -2 n為偶數(shù)

．
故答案為：s_n=

(n+1)(n+3) 8 +2 n+1 2 -2 n為奇數(shù) n(n+2) 8 +2 n+2 2 -2 n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．