Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)，為自然對數(shù)的底）．

（Ⅰ）當(dāng)時，求；

（Ⅱ）若在時取得極小值，試確定的取值范圍；

  （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)由的極大值構(gòu)成的函數(shù)為，將換元為，試判斷曲線是否能與直線（ 為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時，．

．

所以．

（Ⅱ）

．

令，得或．

當(dāng)，即時，

恒成立，

此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，沒有極小值；

當(dāng)，即時，

若，則．

若，則．

所以是函數(shù)的極小值點．

     當(dāng)，即時，

若，則．

若，則．

     此時是函數(shù)的極大值點．

綜上所述，使函數(shù)在時取得極小值的的取值范圍是．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知當(dāng)，且時，，

因此是的極大值點，極大值為．

所以．

．

令．

則恒成立，即在區(qū)間上是增函數(shù)．

所以當(dāng)時，，即恒有．

又直線的斜率為，

所以曲線不能與直線相切．