【題目】已知拋物線(
),點(diǎn)
在
的焦點(diǎn)
的右側(cè),且
到
的準(zhǔn)線的距離是
到
距離的3倍,經(jīng)過點(diǎn)
的直線與拋物線
交于不同的
、
兩點(diǎn),直線
與直線
交于點(diǎn)
,經(jīng)過點(diǎn)
且與直線
垂直的直線
交
軸于點(diǎn)
.
(1)求拋物線的方程和
的坐標(biāo);
(2)判斷直線與直線
的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)橢圓的兩焦點(diǎn)為
、
,在橢圓
外的拋物線
上取一點(diǎn)
,若
、
的斜率分別為
、
,求
的取值范圍.
【答案】(1),
(2)
,詳見解析(3)
【解析】
(1)由題意得出,以及
,可求出
的值,從而得出拋物線
的方程以及焦點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)、
,直線
的方程為
,將直線
的方程與拋物線
的方程聯(lián)立,并列出韋達(dá)定理,并求出
、
兩點(diǎn)的坐標(biāo),在
時(shí),由
與
同時(shí)與
軸垂直得出
,在
時(shí),由
得出
,即可解答該問題;
(3)設(shè)點(diǎn),得出
,由點(diǎn)
在拋物線
上且在橢圓外得出
,由函數(shù)
在
上單調(diào)遞增,可得出
的取值范圍.
(1)由于點(diǎn)在拋物線
的焦點(diǎn)
的右側(cè),所以,
,
由于到
的準(zhǔn)線的距離是
到
距離的
倍,即
,解得
,
因此,拋物線的方程為
,其焦點(diǎn)
的坐標(biāo)為
;
(2),理由如下:
設(shè),
,聯(lián)立
,
得,
,
;
,令
得
,
,令
得
,
當(dāng)時(shí),直線
斜率不存在,
此時(shí),
,直線
斜率也不存在;
當(dāng)時(shí),
,則
;
(3)設(shè)點(diǎn),則
,
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓外,所以
,
即,即
,
,解得
,
由于函數(shù)在
上單調(diào)遞增,則
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)時(shí),
①求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
②求函數(shù)在區(qū)間
上的值域.
(2)對(duì)于任意,都有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求證:函數(shù)
有2個(gè)不同的零點(diǎn);
(3)若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的離心率為
,焦距為
,拋物線
:
的焦點(diǎn)
是橢圓
的頂點(diǎn).
(1)求與
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)上不同于
的兩點(diǎn)
,
滿足
,且直線
與
相切,求
的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景區(qū)欲建兩條圓形觀景步道(寬度忽略不計(jì)),如圖所示,已知
,
(單位:米),要求圓M與
分別相切于點(diǎn)B,D,圓
與
分別相切于點(diǎn)C,D.
(1)若,求圓
的半徑;(結(jié)果精確到0.1米)
(2)若觀景步道的造價(jià)分別為每米0.8千元與每米0.9千元,則當(dāng)
多大時(shí),總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?(結(jié)果分別精確到0.1°和0.1千元)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若數(shù)列滿足,存在實(shí)數(shù)
,對(duì)任意
,都有
,則稱數(shù)列
有上界,
是數(shù)列
的一個(gè)上界,已知定理:?jiǎn)握{(diào)遞增有上界的數(shù)列收斂(即極限存在).
(1)數(shù)列是否存在上界?若存在,試求其所有上界中的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(2)若非負(fù)數(shù)列滿足
,
(
),求證:1是非負(fù)數(shù)列
的一個(gè)上界,且數(shù)列
的極限存在,并求其極限;
(3)若正項(xiàng)遞增數(shù)列無上界,證明:存在
,當(dāng)
時(shí),恒有
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若滿足
為
上奇函數(shù)且
為
上偶函數(shù),求
的值;
(2)若函數(shù)滿足
對(duì)
恒成立,函數(shù)
,求證:函數(shù)
是周期函數(shù),并寫出
的一個(gè)正周期;
(3)對(duì)于函數(shù),
,若
對(duì)
恒成立,則稱函數(shù)
是“廣義周期函數(shù)”,
是其一個(gè)廣義周期,若二次函數(shù)
的廣義周期為
(
不恒成立),試?yán)脧V義周期函數(shù)定義證明:對(duì)任意的
,
,
成立的充要條件是
.
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