Question

11．已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中x的系數(shù)恰好是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足${b_n}=\frac{{{2^{a_n}}}}{{（{{2^{a_n}}-1}）（{{2^{{a_{n+1}}}}-1}）}}$，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二項(xiàng)式定理可得${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，繼而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)“裂項(xiàng)求和“即可證明．

解答 （1）解：（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中x的系數(shù)為$C_1^1+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1=C_2^2+C_2^1+C_3^1+…+C_n^1$=$C_{n+1}^2=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
即${S_n}=\frac{1}{2}{n^2}+\frac{1}{2}n$，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1也適合上式．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．
（2）證明：${b_n}=\frac{2^n}{{（{{2^n}-1}）（{{2^{n+1}}-1}）}}=\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{{{2^n}-1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}=1-\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$，
所以T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理，前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．