Question

已知f（x）=lg（-x²+4x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則-x²+4x＞0，即x²-4x＜0，解得0＜x＜4，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，4）、
設(shè)t=-x²+4x，則t=-x²+4x=-（x-2）²+4∈（0，4]，
則f（x）=lg（-x²+4x）≤lg4，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，lg4]；
（2）∵t=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，函數(shù)t=-x²+4x單調(diào)遞增，而y=lgt單調(diào)遞增，即此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，函數(shù)t=-x²+4x單調(diào)遞減，而y=lgt單調(diào)遞增，即此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2]，單調(diào)遞減區(qū)間為[2，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域，值域以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．