Question

設偶函數(shù)f（x）=

3

sin（2x+φ）-cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

），則（　　）

• A、y=f（x）的對稱中心為（

  kπ

  2

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  2

  ）上為減函數(shù)
• B、y=f（x）的對稱中心為（

  kπ

  2

  +

  π

  4

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  4

  ）上為減函數(shù)
• C、y=f（x）的對稱中心為（

  kπ

  2

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  4

  ）上為增函數(shù)
• D、y=f（x）的對稱中心為（

  kπ

  2

  +

  π

  4

  ，0）（k∈Z），且在（0，

  π

  2

  ）上為增函數(shù)

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：把函數(shù)f（x）的解析式利用兩角差的正弦公式化成標準形式，根據(jù)f（x）為偶函數(shù)求出φ的值，然后結合正弦函數(shù)的對稱中心及單調(diào)性性求函數(shù)f（x）的對稱中心及單調(diào)性．

解答： 解：f（x）=

3

sin（2x+φ）-cos（2x+φ）
=2sin（2x+φ-

π

6

）
∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
∴φ-

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z）
又∵|φ|＜

π

2

∴φ=-

π

3

∴f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x
由2x=

π

2

+kπ（k∈Z）得：x=

kπ

2

+

π

4

（k∈Z），
∴f（x）的對稱中心為（

kπ

2

，0）（k∈Z），
由2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z）得：kπ≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z）
當k=0時，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

2

]．
故選D．

點評：本題考查了三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及對稱性，解題的關鍵是先把函數(shù)解析式利用兩角差的公式化成標準形式，在求φ的值時注意φ的取值范圍．