【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1,E,F分別是棱CC1,AB的中點.
(1)證明:CF∥平面AEB1.
(2)若AC=BC=AA1=4,∠ACB=90°,求三棱錐B1﹣ECF的體積.
【答案】(1)證明見解析(2).
【解析】
(1)取AB1的中點G,連結(jié)EG,FG,推導(dǎo)出四邊形FGEC是平行四邊形,從而CF∥EG,由此能證明CF∥平面AEB1.
(2)求出△B1EC的面積,三棱錐F﹣B1CE的高為2,由此能求出三棱錐F﹣B1CE的體積,再利用等體積法求解.
(1)如圖所示:
取AB1的中點G,連結(jié)EG,FG,
∵F,G分別是AB,AB1的中點,
∴FG∥EC,FG=EC,
∴四邊形FGEC是平行四邊形,
∴CF∥EG,
∵CF平面AEB1,EG平面AEB1,
∴CF∥平面AEB1.
(2)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
∵BC=AA1=4,E是CC1的中點,
∴△B1EC的面積為,
∵AC⊥BC,平面ABC平面
,平面ABC
平面
=BC,
∴AC平面
,
∵F是AB的中點,
∴三棱錐F﹣B1CE的高為2,
∴三棱錐F﹣B1CE的體積為V.
∵三棱錐B1﹣ECF的體積與三棱錐F﹣B1CE的體積相等,
∴三棱錐B1﹣ECF的體積為.
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【題目】已知拋物線的頂點是橢圓
的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合.
(1)求拋物線的方程;
(2)已知動直線過點
,交拋物線
于
,
兩點,坐標原點
為
的中點,求證
;
(3)在(2)的條件下,是否存在垂直于軸的直線
被以
為直徑的圓所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出
的方程;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知拋物線焦點為
,且
,
,過
作斜率為
的直線
交拋物線
于
、
兩點.
(1)若,
,求
;
(2)若為坐標原點,
為定值,當
變化時,始終有
,求定值
的大小;
(3)若,
,
,當
改變時,求三角形
的面積的最大值.
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【題目】已知橢圓Γ:的左,右焦點分別為F1(
,0),F2(
,0),橢圓的左,右頂點分別為A,B,已知橢圓Γ上一異于A,B的點P,PA,PB的斜率分別為k1,k2,滿足
.
(1)求橢圓Γ的標準方程;
(2)若過橢圓Γ左頂點A作兩條互相垂直的直線AM和AN,分別交橢圓Γ于M,N兩點,問x軸上是否存在一定點Q,使得∠MQA=∠NQA成立,若存在,則求出該定點Q,否則說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),在以坐標原點
為極點、以
軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線
的極坐標方程為
,若直線
與曲線
交于
、
兩點.
(1)求線段的中點
的直角坐標;
(2)設(shè)點是曲線
上任意一點,求
面積的最大值.
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【題目】已知橢圓:
的離心率為
,并且經(jīng)過點
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)一條斜率為的直線交橢圓于
,
兩點(不同于
),直線
和
的斜率分別為
,
,滿足
,試判斷直線
是否經(jīng)過定點,請說明理由.
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【題目】已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,若
同時滿足以下四個條件中的三個:①
,②
,③
,④
.
(1)條件①②能否同時滿足,請說明理由;
(2)以上四個條件,請在滿足三角形有解的所有組合中任選一組,并求出對應(yīng)的面積.
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【題目】“眾志成城,抗擊疫情,一方有難,八方支援”,在此次抗擊疫情過程中,各省市都派出援鄂醫(yī)療隊. 假設(shè)汕頭市選派名主任醫(yī)生,
名護士,組成三個醫(yī)療小組分配到湖北甲、乙、丙三地進行醫(yī)療支援,每個小組包括
名主任醫(yī)生和
名護士,則不同的分配方案有( )
A.種B.
種C.
種D.
種
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