Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x+a）e^-x
（1）若函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線3x-y+1=0平行，求a的值；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）≥e^-4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線斜率，由兩直線平行的條件即可得到a；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）≥e^-4恒成立，即有當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）_min≥e^-4．求出導(dǎo)數(shù)，討論①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a≤-1，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性，求出f（x）最小值即可得到．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（ax²+x+a）e^-x
導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²），
則在點(diǎn)（0，f（0））處的切線斜率為f′（0）=1+a，
f（0）=a，由于切線與直線3x-y+1=0平行，
則有1+a=3，a=2；
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）≥e^-4恒成立，即有
當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）_min≥e^-4．
由于f′（x）=（2ax+1）e^-x+（ax²+x+a）e^-x
=e^-x（1+a+x+2ax+ax²）=（x+1）（ax+1+a）e^-x，
①當(dāng)a≥0時(shí)，x∈[0，4]，f′（x）＞0恒成立，f（x）在[0，4]遞增，
f（x）_min=f（0）=a≥e^-4；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=a（x+1）（x+1+

1

a

）•e^-x，
當(dāng)a≤-1，-1≤

1

a

＜0，0≤1+

1

a

＜1，-1＜-（1+

1

a

）≤0，
x∈[0，4]，f′（x）≤0恒成立，f（x）遞減，
f（x）_min=f（4）=（17a+4）•e^-4≥e^-4，17a+4≥1，a≥-

3

17

，與a≤-1矛盾，
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，

1

a

＜-1，1+

1

a

＜0，-（1+

1

a

）＞0，
f（x）在[0，4]遞增，或存在極大值，
f（x）_min在f（0）和f（4）中產(chǎn)生，則需f（0）=a≥e^-4，
且f（4）=（17a+4）•e^-4≥e^-4，
且-1＜a＜0，
推出a∈∅，
綜上，a≥e^-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查分類討論的思想方法，是該題的難點(diǎn)所在，此題屬中檔題．