Question

已知命題p：函數(shù)f（x）=x²+2ax+1在R上有零點(diǎn)，命題q：x²+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi)恒成立，若命題“p且q”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：化簡(jiǎn)命題得到：p為真時(shí)，a≤-1，a≥1．q為真時(shí)，a≤-

5

2

，命題“p且q”是假命題，分解為p，q一真一假，或都為假，判斷即可得出答案．

解答： 解：命題p：函數(shù)f（x）=x²+2ax+1在R上有零點(diǎn)，
則△=4a²-4≥0，
解得p為真時(shí)，a≤-1或a≥1．
命題q：x²+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi)恒成立，
∴3（a+1）≤-(x+

2

x

)在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內(nèi)恒成立
-

9

2

≤-（x+

2

x

）≤-2

2

只需3（a+1）≤-

9

2

即可
解得q為真時(shí)，a≤-

5

2

∵命題“p且q”是假命題，
∴p，q一真一假，或都為假，
當(dāng)p真，q假時(shí)，-

5

2

＜a≤-1，a≥1，
當(dāng)p假q真時(shí)，a∈∅
當(dāng)p，q都為假時(shí)，-1＜a＜1．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-

5

2

，+∞，）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題的真假，與不等式的解集，集合的關(guān)系，屬于中檔題．