Question

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，底面是邊長為的的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 和分別是和的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；

（Ⅱ）．

【解析】試題分析：第一問根據(jù)三角形的中位線找到平行線，利用面面平行的判定定理，在其中一個(gè)平面內(nèi)找到和另一個(gè)平面平行的兩條相交直線，證得結(jié)果，第二問先在幾何體中找到共點(diǎn)的相互垂直的三條直線，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判斷求得二面角的余弦值，結(jié)合二面角的取值范圍，求得二面角的大小．

試題解析：（Ⅰ）證明：在中，因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn)，

所以， 又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面． 設(shè)，連接，

因?yàn)?/span>為菱形，所以為中點(diǎn)

在中，因?yàn)?/span>， ，

所以，

又因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以平面． 又因?yàn)?/span>， 平面，

所以平面平面．

（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形， 分別為的中點(diǎn)，

所以，因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

所以平面，因?yàn)?/span>為菱形，所以，得兩兩垂直．

所以以為原點(diǎn)， 所在直線分別為軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)榈酌?/span>是邊長為的菱形， ， ，所以， ， ， ， ， ．所以， ．設(shè)平面的法向量為，則．令，得．

由平面，得平面的法向量為，則

所以二面角的大小為．