【題目】某地舉行水上運(yùn)動會，如圖，岸邊有兩點(diǎn)，，小船從點(diǎn)以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運(yùn)動員出發(fā)，經(jīng)過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）

（1）若，，運(yùn)動員從處出發(fā)游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內(nèi)（含1小時）能與小船相遇，試求運(yùn)動員游泳速度的最小值；

（2）若運(yùn)動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進(jìn)小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運(yùn)動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運(yùn)動員相遇的條件下的最大值.

【答案】（1）2；（2）.

【解析】

（1）設(shè)運(yùn)動員游泳的速度為千米/小時，結(jié)合余弦定理即可表示出，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求得速度的最小值.

（2）根據(jù)余弦定理代入化簡變形，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程，由一元二次方程有解，即可確定，進(jìn)而求得速度的最大值.

（1）設(shè)運(yùn)動員游泳的速度為千米/小時，

由余弦定理可知，

化簡可得，

因?yàn)?/span>，所以，

則當(dāng)，即時，取得最小值，此時，

所以為保證在1小時內(nèi)（含1小時）能與小船相遇，運(yùn)動員游泳速度的最小值為2.

（2）運(yùn)動員游泳時間為 小時，運(yùn)動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，

由余弦定理可知，

整理化簡可得，

設(shè)，

則上式可化為在內(nèi)有解，

則，

解得，

當(dāng)時，代入方程可解得，滿足，

所以小船在能與運(yùn)動員相遇的條件下的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，底面是邊長為的的菱形， ，四邊形是矩形，平面平面， ， 和分別是和的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

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【題目】已知實(shí)數(shù)a滿足1＜a≤2，設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－x2＋ax．

(Ⅰ) 當(dāng)a＝2時，求f (x)的極小值；

(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點(diǎn)與f (x)的極小值點(diǎn)相同，

求證：g(x)的極大值小于等于10．

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【題目】如圖，在正三棱柱中，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，在空間之間坐標(biāo)系中，四棱錐的底面在平面上，其中點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸上，，，頂點(diǎn)在軸上，且，.

（1）求直線與平面所成角的大��；

（2）設(shè)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求二面角的正弦值.

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【題目】已知從橢圓的一個焦點(diǎn)看兩短軸端點(diǎn)所成視角為,且橢圓經(jīng)過.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在實(shí)數(shù),使直線與橢圓有兩個不同交點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在,求出的值.不存在,說明理由.

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【題目】如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)棱底面，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，作，交于點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

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【題目】已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個零點(diǎn)；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為( )

A.①③B.②③C.①④D.②④

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