Question

（本小題共14分）如圖，四邊形與均為菱形， ，且．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：∥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO．

因?yàn)?四邊形ABCD為菱形，所以，

且O為AC中點(diǎn)． 1分

又FA=FC，所以 ． 3分

因?yàn)?，

所以 平面BDEF． 4分

（Ⅱ）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD與BDEF均為菱形，

所以AD//BC，DE//BF，

所以 平面FBC//平面EAD． 7分

又平面FBC，

所以FC// 平面EAD． 8分

（Ⅲ）【解析】
因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且，所以△DBF為等邊三角形．

因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以，故平面ABCD．

由OA,OB,OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz． 9分

設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，則BD=2，所以O(shè)B=1，

．

所以 ．

所以 ，．

設(shè)平面BFC的法向量為，則有

所以 取x=1，得． 12分

易知平面AFC的法向量為． 13分

由二面角A-FC-B是銳角，得 ．

所以二面角A-FC-B的余弦值為． 14分

考點(diǎn)：本題考查線面平行的判定，線面垂直的判定，求二面角