【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式在
時(shí)恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)求得函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù),分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化,由此可得出函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;
(2)令,由題意可得
對(duì)任意的
恒成立,對(duì)實(shí)數(shù)
的取值進(jìn)行分類(lèi)討論,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)
的單調(diào)性,結(jié)合
可得出實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
.
當(dāng)時(shí),
對(duì)任意的
恒成立,
此時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
;
當(dāng)時(shí),令
,可得
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
此時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
.
綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
;
當(dāng)時(shí),函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
;
(2)設(shè),則
,
,
,
則函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
,
所以,函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,則
.
①當(dāng)時(shí),即當(dāng)
時(shí),
對(duì)任意的
恒成立,
所以,函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增,當(dāng)
時(shí),
,合乎題意;
②當(dāng)時(shí),即當(dāng)
時(shí),由于函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,
且,
由零點(diǎn)存在定理可知,存在,使得
,
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
此時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
,
所以,,不合乎題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面四邊形
是菱形,點(diǎn)
在線(xiàn)段
上,
∥平面
.
(1)證明:點(diǎn)為線(xiàn)段
中點(diǎn);
(2)已知平面
,
,點(diǎn)
到平面
的距離為1,四棱錐
的體積為
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)在銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊為a,b,c,已知f(A)=﹣1,a=2,求△ABC的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線(xiàn)C:y=,D為直線(xiàn)y=
上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B.
(1)證明:直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn):
(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線(xiàn)AB相切,且切點(diǎn)為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),求四邊形ADBE的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠加工某種零件需要經(jīng)過(guò),
,
三道工序,且每道工序的加工都相互獨(dú)立,三道工序加工合格的概率分別為
,
,
.三道工序都合格的零件為一級(jí)品;恰有兩道工序合格的零件為二級(jí)品;其它均為廢品,且加工一個(gè)零件為二級(jí)品的概率為
.
(1)求;
(2)若該零件的一級(jí)品每個(gè)可獲利200元,二級(jí)品每個(gè)可獲利100元,每個(gè)廢品將使工廠損失50元,設(shè)一個(gè)零件經(jīng)過(guò)三道工序加工后最終獲利為元,求
的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根
,
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若對(duì)任意存在
使得
成立,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)
的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求曲線(xiàn)的普通方程與直線(xiàn)
的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若與平行的直線(xiàn)
與曲線(xiàn)
交于
,
兩點(diǎn).且在
軸的截距為整數(shù),
的面積為
,求直線(xiàn)
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2021年起,我省將實(shí)行“3+1+2”高考模式,某中學(xué)為了解本校學(xué)生的選考情況,隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生,其中選考化學(xué)或生物的學(xué)生共有70位,選考化學(xué)的學(xué)生共有40位,選考化學(xué)且選考生物的學(xué)生共有20位.若該校共有1500位學(xué)生,則該校選考生物的學(xué)生人數(shù)的估計(jì)值為( )
A.300B.450C.600D.750
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