【題目】已知曲線C:y=,D為直線y=
上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為A,B.
(1)證明:直線AB過定點:
(2)若以E(0,)為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形ADBE的面積.
【答案】(1)見詳解;(2) 3或.
【解析】
可用解析法和幾何法證明。解析法可設A,B兩點的坐標分別為,
,然后求出A,B兩點處的切線,兩條切線交于直線
之上,所以交點的縱坐標為
聯(lián)立方程可解和
的關系。之后用兩點式求出直線
方程,最后根據(jù)直線
方程求出它所過的定點.(2)應用四邊形面積公式,代入化簡出關于
和
的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和,但會稍微麻煩一些。(此題若用向量積的概念則更為容易)
(1)證明:設A,B兩點的坐標分別為,
,因為
,所以
,
則切線DA為:---------①,切線DB為:
--------②,
代入得
,
得
,因為
故消去得交點的縱坐標
,
因為DA和DB的交點D為直線上的動點,所以有
,
,
直線AB為,點A,B在曲線
上,則有
,整理得
,即
.當
,
時無論
,
取何值時,此等式均成立。因此直線AB過定點
,得證。
(2)設AB的中點為G,由題得G點坐標為,則
,又
.由題意知
,即
即
.代入
得
整理得
.
因,故
.所以
或
.
由第一問中,為這里的
為D點坐標,然而
,故
,所以
,又因為
.所以
。即D坐標為
.
那么,
.
設為
與
的夾角,那么有
代入進行化簡有
若,則
.
若,則
,
代入有.
所以四邊形ADBE的面積為3或.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),當
時,
,則下列命題正確的是( )
A.當時,
B.函數(shù)有3個零點
C.的解集為
D.,都有
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某客戶考察了一款熱銷的凈水器,使用壽命為十年,改款凈水器為三級過濾,每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn).在使用過程中,一級濾芯需要不定期更換,其中每更換個一級濾芯就需要更換
個二級濾芯,三級濾芯無需更換.其中一級濾芯每個
元,二級濾芯每個
元.記一臺凈水器在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯的個數(shù)構成的集合為
.如圖是根據(jù)
臺該款凈水器在十年使用期內(nèi)更換的一級濾芯的個數(shù)制成的柱狀圖.
(1)結合圖,寫出集合;
(2)根據(jù)以上信息,求出一臺凈水器在使用期內(nèi)更換二級濾芯的費用大于元的概率(以
臺凈水器更換二級濾芯的頻率代替
臺凈水器更換二級濾芯發(fā)生的概率);
(3)若在購買凈水器的同時購買濾芯,則濾芯可享受折優(yōu)惠(使用過程中如需再購買無優(yōu)惠).假設上述
臺凈水器在購機的同時,每臺均購買
個一級濾芯、
個二級濾芯作為備用濾芯(其中
,
),計算這
臺凈水器在使用期內(nèi)購買濾芯所需總費用的平均數(shù).并以此作為決策依據(jù),如果客戶購買凈水器的同時購買備用濾芯的總數(shù)也為
個,則其中一級濾芯和二級濾芯的個數(shù)應分別是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平行四邊形中,
過
點作
的垂線交
的延長線于點
,
.連結
交
于點
,如圖1,將
沿
折起,使得點
到達點
的位置.如圖2.
證明:直線
平面
若
為
的中點,
為
的中點,且平面
平面
求三棱錐
的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設、
分別是橢圓
的左、右焦點,
、
兩點分別是橢圓
的上、下頂點,
是等腰直角三角形,延長
交橢圓
于
點,且
的周長為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)設點是橢圓
上異于
、
的動點,直線
、
與直線
分別相交于
、
兩點,點
,試問:
外接圓是否恒過
軸上的定點(異于點
)?若是,求該定點坐標;若否,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點坐標是,過點
且垂直于長軸的直線交橢圓于
兩點,且
.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點的直線
與橢圓交于不同的兩點
,問三角形
內(nèi)切圓面積是否存在最大值?若存在,請求出這個最大值及此時直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以坐標原點
為極點,
軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,直線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線
的直角坐標方程;
(Ⅱ)若與平行的直線
與曲線
交于
,
兩點.且在
軸的截距為整數(shù),
的面積為
,求直線
的方程.
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