Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值；

（Ⅲ）試證明：.

 

Answer 1

【答案】

(1) 在區(qū)間上是減函數(shù)

(2)

(3)在二問(wèn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行放縮法來(lái)證明不等式。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）由題…………2分

故在區(qū)間上是減函數(shù);…………3分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上恒成立，取，則，…………………5分

再取則

故在上單調(diào)遞增，

而，…………………7分

故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，

故時(shí)，時(shí)，

故故…………………8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

令，………………10分

又

……………………12分

即：………………14分

考點(diǎn)：本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，并求解函數(shù)的最值的應(yīng)用個(gè)。對(duì)于含有參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，一般采用分離變量的思想，借助于函數(shù)的最值來(lái)得參數(shù)的范圍。對(duì)于函數(shù)與不等式的結(jié)合問(wèn)題，一般運(yùn)用放縮法的思想來(lái)求證，屬于難度試題。