Question

17．為提高市場銷售業(yè)績，某公司設(shè)計兩套產(chǎn)品促銷方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件），并在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點（每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷方案），運作一年后，對比該地區(qū)上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計相應(yīng)營銷網(wǎng)點個數(shù)，制作相應(yīng)的列聯(lián)表如表所示．

	無促銷活動	采用促銷方案1	采用促銷方案2
本年度平均銷售額不高于上一年度平均銷售額	48	11	31	90
本年度平均銷售額高于上一年度平均銷售額	52	69	29	150
	100	80	60

（Ⅰ）請根據(jù)列聯(lián)表提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷方案（不必說明理由）；
（Ⅱ）已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用），為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價格，統(tǒng)計上一年度的8組售價x_i（單位：元/件，整數(shù)）和銷量y_i（單位：件）（i=1，2，…8）如表所示：

售價x	33	35	37	39	41	43	45	47
銷量y	840	800	740	695	640	580	525	460

（�。┱埜鶕�(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R²，并根據(jù)計算結(jié)果，選擇合適的回歸模型進行擬合；
（ⅱ）根據(jù)所選回歸模型，分析售價x定為多少時？利潤z可以達到最大．

	$\hat y=-1200lnx+5000$	$\hat y=-27x+1700$	$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$
$\sum_{i=1}^8{（{y_i}}-{\hat y_i}{）^2}$	49428.74	11512.43	175.26
$\sum_{i=1}^8{（{y_i}}-\overline y{）^2}$	124650

參考公式：相關(guān)指數(shù)M．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)本年度平均銷售額高于上一年度平均銷售額時，兩種方案的采用數(shù)量對比進行選擇；
（II）（i）代入相關(guān)指數(shù)公式計算即可，并選擇相關(guān)指數(shù)最大的模型；
（ii）求出利潤關(guān)于售價的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值點即可．

解答 解：（Ⅰ）由列聯(lián)表信息可知，年度平均銷售額與方案1的運作相關(guān)性強于方案2．
（Ⅱ）（ⅰ）由已知數(shù)據(jù)可知，回歸模型$\hat y=-1200lnx+5000$對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R₁²=1-$\frac{49428.74}{124650}$=0.6035；
回歸模型$\hat y=-27x+1700$對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R₂²=1-$\frac{11512.43}{124650}$=0.9076；
回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R₃²=1-$\frac{175.26}{124650}$=0.9986．
因為$R_3^2＞R_2^2＞R_1^2$，所以采用回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$進行擬合最為合適．
（ⅱ）由（Ⅰ）可知，采用方案1的運作效果較方案2好，
故年利潤$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$，z'=-（x+30）（x-40），
當(dāng)x∈（0，40）時，$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（40，+∞）時，$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$單調(diào)遞減．
故當(dāng)售價x=40時，利潤達到最大．

點評 本題考查了回歸分析，回歸模型的比較，屬于中檔題．