Question

（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐的底面為菱形，平面，， E、F分別為的中點，．

（Ⅰ）求證：平面平面．

（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）先證得．

再證得．由，證出平面，所以，平面平面．

（Ⅱ）平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵四邊形是菱形，

∴．

在中，，，

∴．

∴，即．

又，   ∴．…………………2分

∵平面，平面，

∴．又∵，

∴平面，………………………………………4分

又∵平面，

平面平面．  ………………………………6分

（Ⅱ）解法一：由（1）知平面，而平面，

∴平面平面 ………………………7分

∵平面，∴．

由（Ⅰ）知，又

∴平面，又平面，

∴平面平面．…………………………9分

∴平面是平面與平面的公垂面．

所以，就是平面與平面所成的銳二面角的平面角．……10分

在中，，即．……………11分

又，

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．…………14分

理（Ⅱ）解法二：以為原點，、分別為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示．因為，，所以，

、、、，…………7分

則，，．………8分

由（Ⅰ）知平面，

故平面的一個法向量為．……………………9分

設平面的一個法向量為，

則 ，即，令，

則．    …………………11分

∴．

所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．……14分

考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題解法較多二應用向量則簡化了證明過程。