Question

已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

 (1)當(dāng)時(shí)， .  

令f ¢(x)<0，解得，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為．

 (2) ，由題意知消去，

得有唯一解．

令，則，

所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

又，，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是． 

(3)設(shè)，則點(diǎn)處切線方程為，

與曲線：聯(lián)立方程組，得，即，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

由題意知，，，

若存在常數(shù)，使得，則，

即存在常數(shù)，使得，

所以解得，． 

故時(shí)，存在常數(shù)，使；時(shí)，不存在常數(shù)，使．