【題目】如圖,三棱錐中,
,
,點(diǎn)
,
分別是棱
,
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的重心.
(1)證明:平面
;
(2)若與平面
所成的角為
,且
,求三棱錐
的體積.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)根據(jù)等腰三角形三線合一可證,再證
得到
即可得證
平面
.
(2)連接并延長交
于點(diǎn)
,則點(diǎn)
為
的中點(diǎn),連接
,可得
平面
,即
為
與平面
所成的角,由勾股定理可計(jì)算出
、
的值,根據(jù)
求出錐體的體積.
(1)∵,
是
的中點(diǎn),∴
.
∵,
是
的中點(diǎn),∴
,
又,
,∴
.
∴,即
.
平面
,
平面
,且
,
∴平面
.
(2)連接并延長交
于點(diǎn)
,則點(diǎn)
為
的中點(diǎn),連接
,則
.
由(1)得平面
,∴
為
與平面
所成的角,即
.
又在中,
,∴
,
.
∵是
的重心,
,
分別是
,
的中點(diǎn),∴
,
.
∵,
,
,
分別是
,
中點(diǎn),∴
,
,
,
則在中,
,∴
.
所以三棱錐的體積
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間
上存在唯一的極小值點(diǎn);
(2)證明:函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù):(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))
①甲地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22;
②乙地5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24;
③丙地5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8.
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,的焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的直線
的斜率為
,與拋物線
交于
,
兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)
,
處的切線分別為
,
,兩條切線的交點(diǎn)為
.
(1)證明:;
(2)若的外接圓
與拋物線
有四個不同的交點(diǎn),求直線
的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,平面
平面
,
,
,點(diǎn)
,
分別是棱
,
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的重心.
(1)證明:平面
;
(2)若與平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰梯形中,
,
,
,
為
中點(diǎn),以
為折痕把
折起,使點(diǎn)
到達(dá)點(diǎn)
的位置(
平面
).
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若直線與平面
所成的角為
,求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為慶祝黨的98歲生日,某高校組織了“歌頌祖國,緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽。從參加競賽的學(xué)生中,隨機(jī)抽取40名學(xué)生,將其成績分為六段,
,
,
,
,
,到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值及樣本的中位數(shù)與眾數(shù);
(2)若從競賽成績在與
兩個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于
分為事件
,求事件
發(fā)生的概率.
(3)為了激勵同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情,現(xiàn)評出一二三等獎,得分在內(nèi)的為一等獎,得分在
內(nèi)的為二等獎, 得分在
內(nèi)的為三等獎.若將頻率視為概率,現(xiàn)從考生中隨機(jī)抽取三名,設(shè)
為獲得三等獎的人數(shù),求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).以原點(diǎn)
為極點(diǎn),以
軸為非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系相同的長度單位.圓
的方程為
被圓
截得的弦長為
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)圓與直線
交于點(diǎn)
,若點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,且
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,對任意
,點(diǎn)
都在函數(shù)
的圖象上.
(1)求,歸納數(shù)列
的通項(xiàng)公式(不必證明).
(2)將數(shù)列依次按
項(xiàng)、
項(xiàng)、
項(xiàng)、
項(xiàng)、
項(xiàng)循環(huán)地分為
,
,
,
,各個括號內(nèi)各數(shù)之和,設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為
,求
的值.
(3)設(shè)為數(shù)列
的前
項(xiàng)積,若不等式
對一切
都成立,其中
,求
的取值范圍.
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