【題目】已知函數(shù).
(1)證明:函數(shù)在區(qū)間
上存在唯一的極小值點(diǎn);
(2)證明:函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【解析】
(1)由導(dǎo)函數(shù)解析式可確定導(dǎo)函數(shù)在上單調(diào)遞增;利用零點(diǎn)存在性定理可知存在唯一
使得
,由此可確定
單調(diào)性,從而得到結(jié)論;
(2)①當(dāng)時(shí),由
可知
單調(diào)遞減,由此可確定
為
的一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)
時(shí),由零點(diǎn)存在定理和(1)中
單調(diào)性,可確定
存在唯一的零點(diǎn);③當(dāng)
時(shí),令
,由
可確定
單調(diào)遞增,則
,由此可確定
,進(jìn)而得到
無零點(diǎn);綜合三種情況可得結(jié)論.
(1)
當(dāng)時(shí),函數(shù)
和
單調(diào)遞減
函數(shù)
單調(diào)遞增
又由,
故存在唯一使得
且當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
當(dāng)
時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞增
故函數(shù)在區(qū)間
上存在唯一的極小值點(diǎn)
(2)①當(dāng)時(shí),由
又由,
,可得
,故在區(qū)間
上函數(shù)
單調(diào)遞減
又由,故有
可得此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)為
②當(dāng)時(shí),由
,
由(1)可知,此時(shí)函數(shù)在區(qū)間
上有唯一的零點(diǎn);
③當(dāng)時(shí),令
則,故此時(shí)函數(shù)
單調(diào)遞增
有
又由,故對
,有
所以在區(qū)間上函數(shù)
沒有零點(diǎn)
綜上所述,函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是一種反映和評價(jià)空氣質(zhì)量的方法,AQI指數(shù)與空氣質(zhì)量對應(yīng)如表所示:
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | 300以上 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
如圖是某城市2018年12月全月的AQI指數(shù)變化統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖判斷,下列結(jié)論正確的是( )
A. 整體上看,這個(gè)月的空氣質(zhì)量越來越差
B. 整體上看,前半月的空氣質(zhì)量好于后半個(gè)月的空氣質(zhì)量
C. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 從AQI數(shù)據(jù)看,前半月的平均值小于后半月的平均值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在
時(shí),有極值,求
的值;
(2)在直線上是否存在點(diǎn)
,使得過點(diǎn)
至少有兩條直線與曲線
相切?若存在,求出
點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】至年底,我國發(fā)明專利申請量已經(jīng)連續(xù)
年位居世界首位,下表是我國
年至
年發(fā)明專利申請量以及相關(guān)數(shù)據(jù).
注:年份代碼~
分別表示
~
.
(1)可以看出申請量每年都在增加,請問這幾年中哪一年的增長率達(dá)到最高,最高是多少?
(2)建立關(guān)于
的回歸直線方程(精確到
),并預(yù)測我國發(fā)明專利申請量突破
萬件的年份.
參考公式:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動點(diǎn)E到定點(diǎn)和定直線
的距離相等.
(1)求動點(diǎn)E的軌跡C的方程;
(2)設(shè)動直線與曲線C有唯一的公共點(diǎn)P,與直線
相交于點(diǎn)Q,若
,求證:點(diǎn)M的軌跡恒過定點(diǎn)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年是新中國成立七十周年,新中國成立以來,我國文化事業(yè)得到了充分發(fā)展,尤其是黨的十八大以來,文化事業(yè)發(fā)展更加迅速,下圖是從2013 年到 2018 年六年間我國公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)(個(gè))與對應(yīng)年份編號的散點(diǎn)圖(為便于計(jì)算,將 2013 年編號為 1,2014 年編號為 2,…,2018年編號為 6,把每年的公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)個(gè)數(shù)作為因變量,把年份編號從 1 到 6 作為自變量進(jìn)行回歸分析),得到回歸直線,其相關(guān)指數(shù)
,給出下列結(jié)論,其中正確的個(gè)數(shù)是( )
①公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)與年份的正相關(guān)性較強(qiáng)
②公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)平均每年增加13.743個(gè)
③可預(yù)測 2019 年公共圖書館業(yè)機(jī)構(gòu)數(shù)約為3192個(gè)
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近來天氣變化無常,陡然升溫、降溫幅度大于的天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多.陡然降溫幅度大于
容易引起幼兒傷風(fēng)感冒疾病.為了解傷風(fēng)感冒疾病是否與性別有關(guān),在某婦幼保健院隨機(jī)對人院的
名幼兒進(jìn)行調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表,若在全部
名幼兒中隨機(jī)抽取
人,抽到患傷風(fēng)感冒疾病的幼兒的概率為
,
(1)請將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
患傷風(fēng)感冒疾病 | 不患傷風(fēng)感冒疾病 | 合計(jì) | |
男 | 25 | ||
女 | 20 | ||
合計(jì) | 100 |
(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的情況下認(rèn)為患傷風(fēng)感冒疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)已知在患傷風(fēng)感冒疾病的名女性幼兒中,有
名又患黃痘病.現(xiàn)在從患傷風(fēng)感冒疾病的
名女性中,選出
名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患黃痘病的女性人數(shù)為
,求
的分布列以及數(shù)學(xué)期望.下面的臨界值表供參考:
參考公式:,其中
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐中,
,
,點(diǎn)
,
分別是棱
,
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的重心.
(1)證明:平面
;
(2)若與平面
所成的角為
,且
,求三棱錐
的體積.
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