Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上.

(1)求，歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(不必證明).

(2)將數(shù)列依次按項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)循環(huán)地分為，，，，各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值.

(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，若不等式對(duì)一切都成立，其中，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，， （2）3012 （3）

【解析】

（1）求得，分別令，2，3，進(jìn)而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）寫出幾個(gè)循環(huán)數(shù)，可得每一次循環(huán)記為一組，由每一個(gè)循環(huán)含有5個(gè)括號(hào)，故是第20組中第5個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)之和，每一個(gè)循環(huán)中含有15個(gè)數(shù)，20個(gè)循環(huán)具有300個(gè)數(shù)，計(jì)算可得所求和；

（3）由題意可得原不等式即為對(duì)一切都成立，

設(shè)，則只需，判斷數(shù)列的單調(diào)性，可得最大值，解不等式即可得到所求的范圍．

因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故

所以

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以；

由此猜想:.

因?yàn)?/span>，所以數(shù)列依次按項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)、項(xiàng)循環(huán)地分為，，，

每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有個(gè)括號(hào)，故是第組中第個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，每個(gè)循環(huán)中有個(gè)數(shù)，個(gè)循環(huán)共有個(gè)數(shù).

又，所以.

（3）因?yàn)?/span>故，

所以

又

故對(duì)一切都成立，

就是，則只需即可

由于，所以

故是單調(diào)遞減，

于是，解得.