Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓C相交于E、F兩點(diǎn)，A為橢圓的右頂點(diǎn)，直線AE，AF分別交直線于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為P，記直線的斜率為，求證：為定值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)離心率為，可得之間的關(guān)系，再右焦點(diǎn)到直線的距離為，就可求出的值，從而求出的值（2）解決直線和橢圓的綜合問(wèn)題時(shí)注意：第一步：根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步：求解判別式：計(jì)算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系.第五步：根據(jù)題設(shè)條件求解問(wèn)題中結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）由題意得，， 2分

所以，，所求橢圓方程為. 4分

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線方程為：，

設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)， 5分

將直線方程代入橢圓，

整理得： 6分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以直線和橢圓都相交，恒成立，

且 7分

直線的方程為：，直線的方程為：

令，得點(diǎn)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)，

9分

直線 的斜率為

， 11分

將代入上式得：

，

所以為定值. 13

考點(diǎn)：（1）橢圓的方程；（2）直線與橢圓的綜合問(wèn)題.