Question

3．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，且S_2n-1=a_n²，其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若實(shí)數(shù)λ使得不等式$\frac{（n+8）{a}_{n}+70}{λ}$≥n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最大值為$\frac{112}{3}$．

Answer 1

分析 正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．S_2n-1=a_n²，可得a₁=S₁=${a}_{1}^{2}$＞0，解得a₁=1．又S₃=${a}_{2}^{2}$，可得$3×1+\frac{3×2}{2}$d=（1+d）²，解得d，可得a_n=2n-1．不等式$\frac{（n+8）{a}_{n}+70}{λ}$≥n化為：λ≤$\frac{（n+8）（2n-1）+70}{n}$=2n+$\frac{62}{n}$+15．利用不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿足2a_n+1=a_n+a_n+2，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d．
∵S_2n-1=a_n²，∴a₁=S₁=${a}_{1}^{2}$＞0，解得a₁=1．
又S₃=${a}_{2}^{2}$，∴$3×1+\frac{3×2}{2}$d=（1+d）²，解得d=2，-1（舍去）．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
不等式$\frac{（n+8）{a}_{n}+70}{λ}$≥n化為：λ≤$\frac{（n+8）（2n-1）+70}{n}$=2n+$\frac{62}{n}$+15．
∵2n+$\frac{62}{n}$+15≥$2×2\sqrt{n•\frac{31}{n}}$+15，經(jīng)過驗(yàn)證可得：n=6時(shí)，取得最小值．
則實(shí)數(shù)λ的最大值為$2×6+\frac{62}{6}$+15=$\frac{112}{3}$．
故答案為：$\frac{112}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、不等式的解法與性質(zhì)、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．