Question

兩圓相交于A、B，過A作兩直線分別交兩圓于C、D和E、F.若∠EAB=∠DAB.求證：CD=EF.

Answer 1

思路分析：要證CD=EF，只需證明△CBD≌△EBF即可.從圖2-2-4可以看出，∠C=∠E，∠D=∠F，因此，只需再找一條對應邊相等即可.比如，能否推出BC=BE呢？要證BC=BE，只需∠CEB=∠ECB.有無可能呢？可以發(fā)現(xiàn)，∠ECB=∠1，又已知∠1=∠2，所以，只需證∠2=∠CEB即可.這時我們發(fā)現(xiàn)，A、B、E、C是圓內(nèi)接四邊形，根據(jù)性質(zhì)定理，它的外角∠2與它的內(nèi)對角∠CEB當然相等.至此，思路完全溝通.

圖2-2-4

證明：∵ABEC為圓內(nèi)接四邊形，∴∠2=∠CEB.

又∵∠1=∠ECB，且∠1=∠2，∴∠CEB=∠ECB.∴BC=BE.

在△CBD與△EBF中，∠C=∠E，∠D=∠F，BC=BE，

∴△CBD≌△EBF.∴CD=EF.

    深化升華 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，直接寫出∠2=∠CEB，簡化了通過弧與角的計算推證∠2=∠CEB的過程，正如運用算術乘法的九九表一樣，可以大大簡化思維的過程.