Question

（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講

如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線，PA＝10，PB＝5，∠BAC的平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E.

（1）求證：；

（2）求AD·AE的值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）90.

【解析】

試題分析：（1）由PA為圓O的切線，得到∠PAB＝∠ACP，又∠P＝∠P，即得證；

（2）根據(jù)PA為圓O的切線，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線，

計(jì)算相關(guān)線段長(zhǎng)度、角度，證得△ACE∽△ADB，計(jì)算即得.

試題解析：（1）∵PA為圓O的切線，∴∠PAB＝∠ACP，

又∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA，∴ 5分

（2）∵PA為圓O的切線，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線，

∴PA2＝PB·PC，又PA＝10，PB＝5，∴PC＝20， BC＝15，

由（1）知，＝，∠CAB＝90°，

∴AC2＋AB2＝BC2＝225， ∴AC＝6，AB＝3

連接CE，則∠ABC＝∠E，又∠CAE＝∠EAB，

∴△ACE∽△ADB， ∴

所以AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90 10分

考點(diǎn)：1.圓的切割線定理;2.相似三角形.