Question

經(jīng)過△OAB的重心G（三條中線的交點）作一直線與OA，OB分別交于點P，Q，設

OP

=m

OA

，

OQ

=n

OB

（m，n∈R），則

1

m

+

1

n

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：根據(jù)向量的加法，及三角形重心的性質，中線向量可得：

OP

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GP

=m

OA

①，

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GQ

=n

OB

，因為

GQ

，

GP

共線，所以存在實數(shù)λ，使：

GQ

=λ

GP

，所以得到，

1

3

(

OA

+

OB

)+λ

GP

=n

OB

   ②．①②聯(lián)立消去λ得：

1

3

(λ-1)(

OA

+

OB

)=mλ

OA

-n

OB

，所以得到，

1 3 (λ-1)=mλ 1 3 (λ-1)=-n

，這樣可解出λ，并帶入

1

3

(λ-1)=-n并整理可得：m+n=3mn，這樣即可求出

1

m

+

1

n

．

解答： 解：如圖，連接OG并延長交AB于H，則H為AB的中點；
∴

OP

=

OG

+

GP

=

2

3

OH

+

GP

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GP

=m

OA

      ①；
同樣，

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+

GQ

，∵

GP

，

GQ

共線，∴存在實數(shù)λ，使

GQ

=λ

GP

；
∴

OQ

=

1

3

(

OA

+

OB

)+λ

GP

=n

OB

        ②；
∴①•λ-②得：

1

3

(λ-1)(

OA

+

OB

)=mλ

OA

-n

OB

；
∴

1 3 (λ-1)=mλ 1 3 (λ-1)=-n

，解出λ=-

n

m

，帶入

1

3

(λ-1)=-n得：

1

3

(-

n

m

-1)=-n，∴m+n=3mn，∴

1

m

+

1

n

=3．
故答案為：3．

點評：本題考查向量的加法運算，中線向量，三角形重心的性質，共面向量基本定理．