Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，數(shù)列{b_n}，{c_n}滿足b_n=

an+2

an

，c_n=a_na_n+1²．
（1）若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，求證：數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列，且b_n+1≥b_n，求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列可得

an+1

an

=q，結(jié)合c_n=a_na_n+1²可得：

cn+1

cn

=

an+1• a 2 n+2

an •a 2 n+1

=q³為常數(shù)，即數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列；
（2）由數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列可得

cn+1

cn

=q，即

cn+1

cn

=

an+1• a 2 n+2

an •a 2 n+1

=

a 2 n+2

an •a   n+1

=q，結(jié)合b_n=

an+2

an

可得b_n+2²=b_n+1•b_n由b_n+1≥b_n，可得：b_n+2=b_n+1=b_n，即

an+3

an+1

=

an+2

an

，即a_n+3=a_n+1•

an+2

an

，進(jìn)而a_n+1²=a_n•a_n+2，即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

解答： 證明：（1）因?yàn)閿?shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以

an+1

an

=q（q為常數(shù)），
又因?yàn)閏_n=a_na_n+1²．
所以

cn+1

cn

=

an+1• a 2 n+2

an •a 2 n+1

=q³為常數(shù)，所以數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列；
（2）因?yàn)閿?shù)列{c_n}是等比數(shù)列，所以

cn+1

cn

=q（q為常數(shù)），
所以

cn+1

cn

=

an+1• a 2 n+2

an •a 2 n+1

=

a 2 n+2

an •a   n+1

=q（q為常數(shù)），
則

a 2 n+2

an •a   n+1

=

a 2 n+4

an+2 •a   n+3

，
所以

a 2 n+4

a 2 n+2

=

an+2•an+3

an •a   n+1

，
∵b_n=

an+2

an

，
故b_n+2²=b_n+1•b_n．
因?yàn)閎_n+1≥b_n，所以b_n+2≥b_n+1，則b_n+2²≥b_n+1²≥b_n+1•b_n．
所以b_n+2=b_n+1=b_n．
∴

an+3

an+1

=

an+2

an

，即a_n+3=a_n+1•

an+2

an

．
因?yàn)閿?shù)列{c_n}是等比數(shù)列，所以

cn+1

cn

=

cn+2

cn+1

，即

a 2 n+2

an •a   n+1

=

a 2 n+3

an+1 •a   n+2

，
把a(bǔ)_n+3=a_n+1•

an+2

an

代入化簡(jiǎn)得a_n+1²=a_n•a_n+2，
所以數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等比數(shù)列關(guān)系的確定，轉(zhuǎn)化比較困難，運(yùn)算量比較大，屬于中檔題．