分析 (Ⅰ)求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù),h′(x)=12ex[x2+2(a+1)x+2a],令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,求出t(x)的兩個零點(diǎn)x1=−a−1−√a2+1<-1,x2=−a−1+√a2+1>-1.然后分a≤−34和a>-34討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)h(x)=f(x)•g(x)在[-1,1]上的一個極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)由函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上為增函數(shù),可得p′(x)=ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,轉(zhuǎn)化為x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,得到b≥ea-2a-1對?a∈[1,3]恒成立,令φ(a)=ea-2a-1,求導(dǎo)可得φ(a)=ea-2a-1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3-7.從而證得b≥e3-7.
解答 (Ⅰ)解:∵f(x)=12x2+ax,g(x)=ex,
∴h(x)=f(x)•g(x)=(12x2+ax)ex,h′(x)=12ex[x2+2(a+1)x+2a],
令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,由t(x)=0,得x1=−a−1−√a2+1<-1,x2=−a−1+√a2+1>-1.
若a≤−34,則x2≥1,t(x)≤0在[-1,1]上恒成立,即h′(x)在[-1,1]上恒成立,h(x)單調(diào)遞減,在[-1,1]上無極值點(diǎn);
若a>-34,則-1<x2<1,當(dāng)x∈[-1,x2)時,t(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x2,1]時,t(x)>0,即h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴x2是函數(shù)h(x)=f(x)•g(x)在[-1,1]上的一個極值點(diǎn).
(Ⅱ)證明:p(x)=f'(x)•g(x)=(x+a)ex,p′(x)=ex(x+a+1),
∵函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上為增函數(shù),∴ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,
即x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,
則b+a-ea+a+1≥0對?a∈[1,3]恒成立,
∴b≥ea-2a-1對?a∈[1,3]恒成立,
令φ(a)=ea-2a-1,則φ′(a)=ea-2>0,
∴φ(a)=ea-2a-1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3-7.
∴b≥e3-7.
點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬難題.
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A. | √32 | B. | √22 | C. | 12 | D. | 13 |
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A. | f(2014)-f(2017)<0 | B. | f(2014)-f(2017)=0 | C. | f(2014)+f(2017)<0 | D. | f(2014)+f(2017)=0 |
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A. | (−∞,−e2+1e) | B. | (e2+1e,+∞) | C. | (−e2+1e,−2) | D. | (2,e2+1e) |
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A. | 2 | B. | 32 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | 1 | B. | 3 | C. | 7 | D. | 4 |
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