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14.已知函數(shù)f(x)=12x2+ax,g(x)=ex,a∈R且a≠0,e=2.718…,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)h(x)=f(x)•g(x)在[-1,1]上極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)令函數(shù)p(x)=f'(x)•g(x),若?a∈[1,3],函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上均為增函數(shù),求證:b≥e3-7.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù),h′(x)=12ex[x2+2a+1x+2a],令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,求出t(x)的兩個零點(diǎn)x1=a1a2+1<-1,x2=a1+a2+1>-1.然后分a≤34和a>-34討論函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)h(x)=f(x)•g(x)在[-1,1]上的一個極值點(diǎn)的個數(shù);
(Ⅱ)由函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上為增函數(shù),可得p′(x)=ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,轉(zhuǎn)化為x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,得到b≥ea-2a-1對?a∈[1,3]恒成立,令φ(a)=ea-2a-1,求導(dǎo)可得φ(a)=ea-2a-1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3-7.從而證得b≥e3-7.

解答 (Ⅰ)解:∵f(x)=12x2+ax,g(x)=ex,
∴h(x)=f(x)•g(x)=(12x2+ax)ex,h′(x)=12ex[x2+2a+1x+2a],
令t(x)=x2+2(a+1)x+2a,由t(x)=0,得x1=a1a2+1<-1,x2=a1+a2+1>-1.
若a≤34,則x2≥1,t(x)≤0在[-1,1]上恒成立,即h′(x)在[-1,1]上恒成立,h(x)單調(diào)遞減,在[-1,1]上無極值點(diǎn);
若a>-34,則-1<x2<1,當(dāng)x∈[-1,x2)時,t(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(x2,1]時,t(x)>0,即h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,
∴x2是函數(shù)h(x)=f(x)•g(x)在[-1,1]上的一個極值點(diǎn).
(Ⅱ)證明:p(x)=f'(x)•g(x)=(x+a)ex,p′(x)=ex(x+a+1),
∵函數(shù)p(x)在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上為增函數(shù),∴ex(x+a+1)≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,
即x+a+1≥0在區(qū)間[b+a-ea,+∞]上恒成立,
則b+a-ea+a+1≥0對?a∈[1,3]恒成立,
∴b≥ea-2a-1對?a∈[1,3]恒成立,
令φ(a)=ea-2a-1,則φ′(a)=ea-2>0,
∴φ(a)=ea-2a-1在[1,3]上為增函數(shù),則φ(a)的最大值為φ(3)=e3-7.
∴b≥e3-7.

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬難題.

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