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19.已知函數(shù)f(x)=1xax+lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),且a>0.
(Ⅰ)求a的取值范圍;
(Ⅱ)若b>0,試說明1a+b<lna+ba

分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導函數(shù),由f′(x)≥0,且a>0,得ax-1≥0,即x1a,再由x的范圍求得a的范圍;
(Ⅱ)b>0,由(Ⅰ)知a≥1,可得a+b>1,由f(x)=1xax+lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),可得f(\frac{a+b})>f(1),化簡得到1a+bln\frac{a+b};
由lna+ba?lna+ba=ln1+aa<0.構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x(x∈[0,+∞)),利用導數(shù)判斷函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).由g(a)<g(0)得ln\frac{a+b}a

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=1ax2+1x=ax1ax2,
由f′(x)≥0,且a>0,得ax-1≥0,即x1a,
∵x∈(1,+∞),∴1a1,即a≥1;
(Ⅱ)∵b>0,由(Ⅰ)知,a≥1.
a+b>1,又f(x)=1xax+lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(a+b)>f(1),即1a+baa+b+lna+b>0.
化簡得:1a+bln\frac{a+b};
lna+ba?lna+ba=ln1+aa<0.
令g(x)=ln(1+x)-x(x∈[0,+∞)),則g′(x)=11+x1=x1+x<0.
∴函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).
∴g(a)=ln(1+\frac{a})=lna+b-\frac{a}<g(0)=0.
綜上,1a+b<lna+b\frac{a}

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法,考查邏輯思維能力與推理運算能力,屬難題.

練習冊系列答案
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