分析 (Ⅰ)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由f′(x)≥0,且a>0,得ax-1≥0,即x≥1a,再由x的范圍求得a的范圍;
(Ⅱ)b>0,由(Ⅰ)知a≥1,可得a+b>1,由f(x)=1−xax+lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),可得f(a+b)>f(1),化簡得到1a+b<lna+b;
由lna+b<a?lna+b−a=ln(1+a)−a<0.構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=ln(1+x)-x(x∈[0,+∞)),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).由g(\frac{a})<g(0)得lna+b<a.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=−1ax2+1x=ax−1ax2,
由f′(x)≥0,且a>0,得ax-1≥0,即x≥1a,
∵x∈(1,+∞),∴1a≤1,即a≥1;
(Ⅱ)∵b>0,由(Ⅰ)知,a≥1.
∴a+b>1,又f(x)=1−xax+lnx在(1,+∞)上是增函數(shù),
∴f(a+b)>f(1),即\frac{1-\frac{a+b}}{a•\frac{a+b}}+ln\frac{a+b}>0.
化簡得:1a+b<lna+b;
lna+b<a?lna+b−a=ln(1+a)−a<0.
令g(x)=ln(1+x)-x(x∈[0,+∞)),則g′(x)=11+x−1=−x1+x<0.
∴函數(shù)g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).
∴g(a)=ln(1+a)=lna+b-a<g(0)=0.
綜上,1a+b<ln\frac{a+b}<a.
點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查邏輯思維能力與推理運算能力,屬難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | n | C. | 2n | D. | 4n |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | p為假 | B. | ¬q為真 | C. | p∨q為真 | D. | p∧q為假 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (-3,-2) | B. | (-3,2) | C. | (2,4) | D. | (-2,4) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 18 | B. | 9 | C. | -8 | D. | -6 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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