Question

某商場(chǎng)對(duì)A品牌的商品進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)2012年從1月起前x個(gè)月顧客對(duì)A品牌的商品的需求總量P(x)件與月份x的近似關(guān)系是：

P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N^*)

(1)寫(xiě)出第x月的需求量f(x)的表達(dá)式；

(2)若第x月的銷(xiāo)售量g(x)＝

(單位：件)，每件利潤(rùn)q(x)元與月份x的近似關(guān)系為：q(x)＝，問(wèn)：該商場(chǎng)銷(xiāo)售A品牌商品，預(yù)計(jì)第幾月的月利潤(rùn)達(dá)到最大值？月利潤(rùn)最大值是多少？(e⁶≈403)

Answer 1

解　(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝P(1)＝39.

當(dāng)x≥2時(shí)，

f(x)＝P(x)－P(x－1)

  ＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)

  ＝3x(14－x)．

∴f(x)＝－3x²＋42x(x≤12，x∈N^*)．(5分)

(2)設(shè)月利潤(rùn)為h(x)，

h(x)＝q(x)·g(x)

∵當(dāng)1≤x≤6時(shí)，h′(x)≥0，

當(dāng)6＜x＜7時(shí)，h′(x)＜0，

∴當(dāng)1≤x＜7且x∈N^*時(shí)，h(x)_max＝30e⁶≈12 090，(11分)

∵當(dāng)7≤x≤8時(shí)，h′(x)≥0，當(dāng)8≤x≤12時(shí)，h′(x)≤0，

∴當(dāng)7≤x≤12且x∈N^*時(shí)，h(x)_max＝h(8)≈2 987.

綜上，預(yù)計(jì)該商場(chǎng)第6個(gè)月的月利潤(rùn)達(dá)到最大，最大月利潤(rùn)約為12 090元．(14分)