Question

已知函數(shù)，.

（1）證明：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，并指出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.

（2）若函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點(diǎn)，，其中，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

（3）求的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析；（2） ；（3）.

【解析】

試題分析：（1）用單調(diào)性的定義取值，做差，判斷與零的關(guān)系，證明即可；（2）易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，由m＜n，得m＜1＜n，故 ，易得mn的表達(dá)式，解之即可；（3）分兩種情況，當(dāng) 時，當(dāng) 時，再由基本不等式可得．

試題解析： （1）證明：任取 且

所以f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)．函數(shù)f（x）在區(qū)間 上為減函數(shù)．

（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間 上為增函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為 ，在區(qū)間 上為減函數(shù)，相應(yīng)的函數(shù)值為（0，1），由題意函數(shù)f（x）的圖象與直線y=t有兩個不同的交點(diǎn)，故有t∈（0，1），易知A（m，t），B（n，t）分別位于直線x=1的兩側(cè)，

又A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程

（3）當(dāng)時，

當(dāng) 時， 綜上mn的取值范圍為 ．

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．