Question

已知函數(shù)f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍，并求出該零點(diǎn)．

Answer 1

∵f(x)＝4^x＋m·2^x＋1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

即方程(2^x)²＋m·2^x＋1＝0僅有一個(gè)實(shí)根，

設(shè)2^x＝t(t>0)，則t²＋mt＋1＝0.

當(dāng)Δ＝0時(shí)，即m²－4＝0，

∴m＝－2時(shí)，t＝1；m＝2時(shí)，t＝－1(不合題意，舍去)，

∴2^x＝1，x＝0符合題意．

當(dāng)Δ>0時(shí)，即m>2或m<－2時(shí)，

t²＋mt＋1＝0有兩正或兩負(fù)根，

即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)．

∴這種情況不符合題意．

綜上可知：m＝－2時(shí)，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x＝0.