Question

如圖，直線l₁:y=kx+1-k(k≠0，k≠)與l₂相交于點P.直線l₁與x軸交于點P₁,過點P₁作x軸的垂線交于直線l₂于點Q₁,過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…這樣一直作下去，可得到一系列點P₁，Q₁，P₂，Q₂，…點P_n(n=1,2,…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}.

 (Ⅰ)證明x_n+1-1=(x_n-1)，(n∈N^*);

（Ⅱ）求數(shù)列{x_n}的通項公式；

（Ⅲ）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小.

Answer 1

（Ⅱ）解法：由題設(shè)知x₁=1-,x₁-1=-≠0,又由（Ⅰ）知x_n+1-1=(x_n-1), 所以數(shù)列{x_n-1}是首項為x₁-1,公比為的等比數(shù)列.從而x_n-1=-×()^n-1,即x_n=1-2×()ⁿ,n∈N^*.

（Ⅲ）解法：由得點P的坐標(biāo)為（1，1）.所以

2|PP_n|²=2(x_n-1)²+2(kx_n+1-k-1)²=8×()²ⁿ+2(2)^2n-2,4k²|PP₁|²＋5＝

4k²[(1--1)²(0-1)²]+5=4k²+9.

（i）當(dāng)|k|＞，即k＜-或k＞時，4k² |PP₁|²+5＞1+9=10.D而此時0＜||＜1，所以2|PP_n|²＜8×1+2=10,故2|PP_n|²＜4k²|PP₁|²+5.

(ii)當(dāng)0＜|k|＜，即k∈（-，0）∪（0，）時，4k²|PP¹|²+5＜1+9=10.而此時||＞1，所以2|PP_N|²＞8×1+2=10.故2|PP_n|²＞4k²|PP₁|²+5.