Question

設函數(shù)f（x）=ax-lnx-3（a∈R），g（x）=

x

ex

．
（Ⅰ） 若函數(shù)g（x）的圖象在點（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a（a＞0），對任意的x∈（0，e]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，使得 f（x₀）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=x，再利用函數(shù)g（x）的圖象在點（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，可求a的值；
（Ⅱ）先確定函數(shù)g（x）的值域，令m=g（x），則原命題等價于對于任意m∈（0，1]，都有唯一的x0∈[e-4，e]，使得f（x₀）=m成立，而f′（x）=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e^-1，e⁴]，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，即可求得結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵g'（x）=（1-x）e^-x，
∴g'（0）=1，
∴g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=x；
設y=x與f（x）的圖象切于點（x₀，y₀），
而f′（x）=a-

1

x

，∴a-

1

x0

=1且ax₀-lnx₀-3=x₀，
解得a=e²+1；  
（Ⅱ）∵g'（x）=（1-x）e^-x，
∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，
且g（0）=0，g（1）=e^-1，g（e）=e^1-e∈（0，1），
∴g（x）∈（0，1]；      
若令m=g（x），則原命題等價于對于任意m∈（0，1]，都有唯一的x₀∈[e^-4，e]，
使得f（x₀）=m成立． 
而f′（x）=a-

1

x

，x∈[e^-4，e]，

1

x

∈[e^-1，e⁴]，
①當a≤0時，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞減，
要滿足條件，則必須有fmax=f（e-4）=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，無解，
所以此時不存在滿足條件的a；
②當0＜a≤e^-1，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞減，要滿足條件，
則必須有fmax=f（e-4）=ae-4+1≥1，且f_min=f（e）=ae-4≤0，解得0≤a≤

4

e

，∴0＜a≤e^-1；
③當e^-1＜a＜e⁴時，f（x）在區(qū)間（e^-4，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，e）上單調(diào)遞增，
又f（e^-4）=ae^-4+1＞1，要滿足條件，則f_min=f（

1

a

），解得a≤

4

e

，∴e-4＜a≤

4

e

；
④當a≥e⁴時，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞增，
又fmin=f（e-4）=ae-4+1＞1，所以此時不存在a滿足條件；   
綜上有0＜a≤

4

e

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．