Question

1．已知△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其中c=2b-2acosC．
（1）求A；
（2）當a=2時，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得sinC=2cosAsinC，結合sinC≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，由范圍A∈（0，π），可得A的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，進而利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵c=2b-2acosC，
∴由正弦定理可得：sinC=2sinB-2sinAcosC，…2分
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC，
又∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵cosA=$\frac{1}{2}=\frac{^{2}+{c}^{2}-4}{2bc}$，
∴b²+c²=bc+4，
又∵b²+c²=bc+4≥2bc，即：bc≤4，（當且僅當b=c=2時取等號）…8分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤$\sqrt{3}$，可得△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．