Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長(zhǎng)為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)
（1）證明：直線MN∥平面OCD；
（2）求0B與平面OCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取OB的中點(diǎn)E，連接ME，NE，由ME∥AB，AB∥CD，知ME∥CD，由此能夠證明MN∥平面OCD．
（2）求出B到平面OCD的距離，OB，即可求出0B與平面OCD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：取OB的中點(diǎn)E，連接ME，NE，
∵M(jìn)E∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD，
∵NE∥OC，ME∩EN=E，OC∩CD=C，
∴平面MNE∥平面OCD，
∴MN∥平面OCD；
（2）解：先求出B點(diǎn)到平面OCD距離，即A點(diǎn)到平面OCD距離．
∵AB∥平面OCD，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP，過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥OP于點(diǎn)Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，
∵OP=

OD2-DP2

=

3 2

2

，AD=DP=

2

2

，
∴AQ=

OA•AP

OP

=

2

3

，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為

2

3

．
∵OB=

5

，
∴0B與平面OCD所成角的正弦值為

2 5

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，求點(diǎn)到平面的距離，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間幾何問(wèn)題為平面幾何問(wèn)題．