Question

已知a＞1，且函數(shù)y=a^x與函數(shù)y=log_ax的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則此公共點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：y=a^x與y=log_ax兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則它們y=x是兩個(gè)函數(shù)的共同的切線．設(shè)兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，所以ax0=x₀，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵y=a^x與y=log_ax兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴要使兩個(gè)函數(shù)圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則它們y=x是兩個(gè)函數(shù)的共同的切線．
設(shè)兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為M（x₀，y₀），由于曲線y=a^x在M處的切線斜率為1，
∴ax0=x₀，且函數(shù)y=a^x的導(dǎo)數(shù)為y′=f′（x₀）=ax0lna=1，
即

ax0=x0 ax0lna=1

，∴

ax0=x0 1 lna =x0

，
則a

1

lna

=

1

lna

，兩邊取對(duì)數(shù)得lna 

1

lna

=ln

1

lna

=1，
解得e=

1

lna

，所以lna=

1

e

，即a=e

1

e

，此時(shí)x₀=e．
∴y₀=x₀=e，
∴此公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（e，e）．
故答案為：（e，e）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩函數(shù)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意y=a^x與y=log_ax兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱的性質(zhì)的合理運(yùn)用．