Question

是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù) y=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，結(jié)合0≤cosx≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值，再結(jié)合在閉區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為1，求得a的值．

解答： 解：因?yàn)閥=a•cosx-cos²x+

5

8

a-

1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2

4

+

5

8

a-

1

2

，
當(dāng)0≤x≤

π

2

時(shí)，0≤cosx≤1，
若

a

2

＞1時(shí)，即a＞2，則當(dāng)cosx=1時(shí)，y_max=a+

5

8

a-

3

2

=1，∴a=

20

13

＜2（舍去）
若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，則當(dāng)cosx=

a

2

時(shí)，
y_max=

a2

4

+

5

8

a-

1

2

=1，求得a=

3

2

 或a=-4＜0（舍去）a=

3

2

．
若

a

2

＜＜0，即a＜0，則當(dāng)cosx=0時(shí)，y_max=

5

8

a-

1

2

=1，可得a=

12

5

＞0（舍去），
綜合上述知，存在a=

3

2

符合題設(shè)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查余弦函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．