Question

已知△ABC的兩頂點(diǎn)B（1，0）和C（-1，0），兩邊AB、AC所在直線的斜率之積是-2．
（1）求頂點(diǎn)A的軌跡Q；
（2）若不經(jīng)過點(diǎn)B、C的直線l與軌跡Q只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)在第一象限，試求直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），由斜率公式，列式并化簡(jiǎn)，即可；
（2）可設(shè)直線l方程為y=kx+b，聯(lián)立軌跡Q的方程，消去y，得到x的方程，由判別式為0，得到k，b的關(guān)系式，求出三角形的面積關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式，即可得到最小值，且k，b的值．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)A（x，y），則由題設(shè)可知：

y

x-1

•

y

x+1

=-2（x≠±1），
化簡(jiǎn)可得：x²+

y2

2

=1（x≠±1），
∴點(diǎn)A的軌跡Q是以（0，1）和（0，-1）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

2

的橢圓（除B，C兩點(diǎn)）．
（2）∵不過點(diǎn)B，C的直線l與軌跡Q只有一個(gè)公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)在第一象限，
∴可設(shè)直線l方程為y=kx+b，其中k＜0，b＞0，
則直線l與兩軸的交點(diǎn)分別為（0，b），（-

b

k

，0）．
由

y=kx+b x2+ y2 2 =1

，得（k²+2）x²+2kbx+b²-2=0       　 　　
∵不過點(diǎn)B，C的直線l與軌跡Q只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=4k²b²-4（k²+2）（b²-2）=0，即b²=k²+2，
∴三角形面積S=

1

2

•（-

b

k

）•b=

k2+2

-2k

=

-k

2

+

1

-k

≥2

-k 2 • 1 -k

=

2

                  
當(dāng)且僅當(dāng)

-k

2

=

1

-k

，即k=-

2

時(shí)，直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積取得最小值

2

，
此時(shí)b²=k²+2=4，b=2，經(jīng)檢驗(yàn)知：符合題意．
∴直線l的方程為y=-

2

x+2時(shí)，三角形面積的最小值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法，考查橢圓方程和直線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量，運(yùn)用判別式判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，以及應(yīng)用基本不等式求最值，是一道綜合題．