Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的最值；

（2）當(dāng)時，過原點分別作曲線和的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：

Answer 1

（1）最大值為 無最小值 （2）詳見解析

【解析】

試題分析：第（1）問利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解函數(shù)的最值；第（2）問背景為指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)于直線對稱的特征，得到過原點的切線也關(guān)于直線對稱，主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究曲線的切線及結(jié)合方程有解零點存在定理的應(yīng)該用求參數(shù)的問題，得到不等式的證明．

試題解析：（1）當(dāng)時，，定義域為．

對求導(dǎo)，得．

當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以，沒有最小值．

（2）設(shè)切線的方程為，切點為，則，

，所以，，則.

由題意知，切線的斜率為，的方程為．

設(shè)與曲線的切點為，則，

所以，．

又因為，消去和后，整理得．

令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

若，因為，，所以，

而在上單調(diào)遞減，所以．

若，因為在上單調(diào)遞增，且，則，

所以（舍去）．

綜上可知，．

考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性、最值.